TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS EN IMÁGENES

El siguiente trabajo presenta:

La respectiva descripción y prueba de las diversas transformaciones geométricas que se pueden realizar a una imágenes. Bueno las transformaciones geométricas son operaciones que nos permiten modificar las posiciones de los pixeles de una imagen en lugar de la intensidad del pixel, la finaldad de esta modificación es crear una nueva imagen a partir de la imagen original; a la imagen nueva se la denomina "homologo" de la original. Entre las transformaciones geométricas más importantes tenemos:

INTERPOLACIÓN:

En el campo de la imagen digital, la interpolación se aplica para conseguir un tamaño mayor de una imagen inicial, rellenando la información que falta con datos(píxeles) obtenidos a partir de la aplicación de un algoritmo específico a los datos(píxeles) conocidos. Matematicamente la interpolacion de una imagen se expresa de la suiente manera:

Donde:

• p(i,j) es el valor del píxel de la imagen original.
• p(iinit,jinit) es el valor del píxel resusltante de la interpolación.
• h(distancia((iinit,jinit),(i,j))) es el núcleo de la interpolación.

Las interpolaciones en imágenes mas imporatantes son:

• INTERPOLACIÓN POR VECINO MÁS CERCANO: Es el método de interpolación más básico. Este método considera el pixel mas cercano de los cuatro píxeles que rodean al pixel p(x,y) interpolado. El error de posición de este método es a lo sumo medio píxel; este error es perceptible en objetos con fronteras rectas en las que aparece un efecto de salto después de la transformación. El núcleo de esta interpolación está dado por:

Prueba: Aplicando un escalado de 2 a X como a Y junto con la interpolación del vecino más cercano se obtuvo el siguiente resultado.

• INTERPOLACIÓN BILINEAL: La interpolación bilineal se logra promediando los cuatro píxeles adyacentes al pixel p(x,y) interpolado. Esta interpolación funciona mejor en imágenes de colores con bordes bien definidas. Es menos suave que la interpolacion bicúbica. El núcleo de esta interpolación está dado por:

Prueba: aplicando un escalado de 2 a X como a Y junto con la interpolación bilineal se obtuvo el siguiente resultado.

• INTERPOLACIÓN BICÚBICA: Esta interpolación es usada por los programas como Adobe Photoshop o Paint Shop Pro.Es el método de interpolación considerado estándar (promedia 16 píxeles adyacentes al pixel p(x,y) interpolado). Photoshop además usa algunas variaciones como interpolación bicúbica enfocada o interpolación bicúbica suavizada que aplican ciertos cambios en la imagen final. Esta interpolación ha sido tomada por muchos usuarios como una variación del algoritmo S-Spline. Los resultados que se obtiene con esta interpolación pueden ser de los mejores que obtengamos. El núcleo de esta interpolación esta dado por:

Prueba: aplicando un escalado de 2 a X como a Y junto con la interpolación bilineal se obtuvo el siguiente resultado.

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES: En todas estas transformaciones se requiere interpolación y representación en coordenadas homogéneas ya que al efectuar una operación fundamental o una transformación las posiciones de los píxeles toman nuevos valores.

Tenemos las siguientes tranformaciones elementales:

• TRASLACIÓN: Esta transformación se define por la siguiente matriz, utilizando coordenadas homogéneas:
  

• Cada posición de la matriz de la imagen es aumentada o disminuida por el factor de traslación. Como en nuestro caso tenemos un sistema de coordenadas de mano izquierda en el monitor las posiciones "X" esta dado por el cálculo de las j's y las "Y" por el cálculo de las i's. Entonces tenemos:

Prueba: aplicando un traslación de 50 en X y 100 en Y se obtuvo el siguiente resultado.

• ROTACIÓN: Esta transformación se define por la siguiente matriz, utilizando coordenadas homogéneas:

• Cada posición de la matriz de la nueva imagen se obtiene de la siguiente forma:
  

Prueba: aplicando un rotación de 45º se obtuvo el siguiente resultado.

• ESCALAMIENTO: Esta transformación se define por la siguiente matriz, utilizando coordenadas homogéneas:
  

• Cada posición de la matriz de la nueva imagen se obtiene de la siguiente forma:
  

Prueba: aplicando un escalado de 2 a X y Y se obtuvo el siguiente resultado.

GENERALIZACIÓN DE TRANSFORMADAS:

• TRANSFORMADA AFIN: Se define mediante la siguiente matriz, utilizando coordenadas homogéneas:
  

• Cada posición de la matriz de la nueva imagen se obtiene de la siguiente forma:

• REGISTRO ENTRE IMÁGENES: El registro permite definir una relación espacial (correspondencia) entre una imagen A y una imagen B.

• Correspondencia: Establecer una transformación espacial que especifique para cada punto de la imagen A el punto de la imagen B al cual se debe superponer.
  

• ALGORITMO:
  

• Obtener n puntos homólogos en A y en B: (in, jn) (i’n, j’n) construir las siguientes matrices:

• Hallar los parámetros de la transformada afín:

• Resolviendo las ecuaciones tenemos:

C ax = bx

C ay = by

• Podemos aplicar la técnica de los mínimos cuadrados , haciendo una descomposición de los valores singulares de la matriz C (descompisión SVD).